PID 算法的基本原理和数学描述

笔记 / 嵌入式PID 控制理论闭环控制算法

PID 是工程界用得最多的闭环控制算法——不依赖被控对象建模，只盯住”目标值 − 实际值”的误差，用比例、积分、微分三路线性组合去消灭它。FOC 磁场定向控制的 C 语言实现里电流环、速度环用的正是它的 PI 子集；数字 PID 的采样节拍通常由单片机定时器与中断系统详解的定时器中断给出。

一、PID 控制的基本原理

将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称为 PID 控制器。总结如下：

PID 是比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）的缩写
PID 是一种闭环控制算法，它动态改变施加到被控对象的输出值（Out），使得被控对象某一物理量的实际值（Actual）能够快速、准确、稳定地跟踪到指定的目标值（Target）
PID 是一种基于误差（Error）调控的算法，其中规定：误差 = 目标值 − 实际值，PID 的任务是使误差始终为 0
PID 对被控对象模型要求低，无需建模——即使被控对象内部运作规律不明确，PID 也能进行调控

1.1 模拟 PID 控制原理

先看一个例子。图 1 是一个小功率直流电机的调速系统：给定速度 $n_0(t)$ 与实际转速 $n(t)$ 比较，其差值 $e(t) = n_0(t) - n(t)$ 经 PID 控制器调整后输出电压控制信号 $u(t)$ ， $u(t)$ 经功率放大后驱动直流电动机改变其转速。

图 1 小功率直流电机调速系统：给定转速 n₀(t) 与反馈回来的实际转速 n(t) 在比较器处相减得偏差 e(t)，送入 PID 控制器产生控制电压 u(t)，经功率放大器驱动直流电动机，测速装置把转速 n(t) 反馈回输入端构成闭环

图 1：小功率直流电机调速系统。

常规的模拟 PID 控制系统原理框图如图 2 所示，系统由模拟 PID 控制器和被控对象组成。图中 $r(t)$ 是给定值， $y(t)$ 是系统的实际输出值，给定值与实际输出值构成控制偏差：

$e(t) = r(t) - y(t)$

$e(t)$ 作为 PID 控制器的输入，控制器的输出 $u(t)$ 作为被控对象的输入，所以模拟 PID 控制器的控制规律为：

$u(t) = K_p\left[e(t) + \frac{1}{T_i}\int_0^t e(t)\,dt + T_d\frac{de(t)}{dt}\right]$

其中：

$K_p$ —— 控制器的比例系数
$T_i$ —— 控制器的积分时间，也称积分时间常数
$T_d$ —— 控制器的微分时间，也称微分时间常数

图 2 模拟 PID 控制系统原理框图：偏差 e(t)=r(t)−y(t) 并联送入比例 Kp、积分 1/Ti·∫、微分 Td·d/dt 三个环节，求和后得控制量 u(t) 驱动被控对象；对象输出 y(t) 经测量反馈到输入端与 r(t) 比较

图 2：模拟 PID 控制系统原理框图——比例、积分、微分三路并联求和。

1.2 PID 控制器各环节介绍

比例部分（P）

数学表达： $K_p \cdot e(t)$ 。

在模拟 PID 控制器中，比例环节对偏差瞬间作出反应：偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数——比例系数越大，控制作用越强，过渡过程越快，控制过程的静态偏差也就越小；但比例系数越大也越容易产生振荡、破坏系统的稳定性，故比例系数的选择必须恰当，才能兼顾过渡时间短、静差小而又稳定。

比例项功能总结：

只含有比例项的 PID 输出值： $out(t) = K_p \cdot error(t)$
比例项的输出值仅取决于当前时刻的误差，与历史时刻无关——当前存在误差时，比例项输出一个与误差呈正比的值；当前不存在误差时，比例项输出 0
$K_p$ 越大，比例项权重越大，系统响应越快，但超调也会随之增加
纯比例项控制时，系统一般会存在稳态误差； $K_p$ 越大，稳态误差越小

积分部分（I）

数学表达：

$\frac{K_p}{T_i}\int_0^t e(t)\,dt$

只要存在偏差，积分的控制作用就不断增加；只有在偏差 $e(t) = 0$ 时，积分才是一个常数，控制作用才是一个不再增加的常数。可见积分部分可以消除系统的偏差（稳态误差）。

积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度、增加系统的超调量。 $T_i$ 越大，积分的积累作用越弱，系统在过渡过程中不易产生振荡；但增大 $T_i$ 会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间较长，不过可以减少超调量、提高系统的稳定性。 $T_i$ 较小时积分作用较强，系统过渡过程中有可能产生振荡，但消除偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的具体要求来确定 $T_i$ 。

微分部分（D）

数学表达：

$K_p \cdot T_d\frac{de(t)}{dt}$

实际的控制系统除了希望消除静态误差外，还要求加快调节过程。在偏差出现的瞬间、或偏差变化的瞬间，不但要对偏差量做出立即响应（比例环节的作用），而且要根据偏差的变化趋势预先给出适当的纠正——为此在 PI 控制器的基础上加入微分环节，形成 PID 控制器。

微分环节的作用是阻止偏差的变化，它根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制：偏差变化得越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入有助于减小超调量、克服振荡、使系统趋于稳定，特别对高阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。

微分的作用对输入信号的噪声很敏感，对噪声较大的系统一般不用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。微分部分的作用由微分时间常数 $T_d$ 决定： $T_d$ 越大，抑制偏差变化的作用越强； $T_d$ 越小，反抗偏差变化的作用越弱。适当地选择 $T_d$ 可以使微分作用达到最优。

二、PID 算法的数字表示

计算机进入控制领域后，人们将模拟 PID 控制规律作适当变换引入计算机，用软件实现 PID 控制，即数字 PID 控制。数字式 PID 控制算法分为位置式 PID 和增量式 PID 两类。

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，不能像模拟控制那样连续输出，所以模拟 PID 中的积分项和微分项都不能直接使用，必须进行离散化处理。

积分项的离散化——用矩形法数值积分近似代替积分：

积分项离散化示意：绿色 error(t) 曲线在 0~8T 区间下的面积，用 8 个宽为 T、高为 error(kT) 的蓝色矩形面积之和近似；每个采样点 kT 对应一个矩形

曲线下的面积近似为所有矩形面积之和：

$\int_0^t error(t)\,dt \approx T \cdot error(0) + T \cdot error(1) + \cdots + T \cdot error(8) = T\sum_{j=0}^{k} e(jT)$

微分项的离散化——用一阶后向差分近似代替微分，即用相邻两个采样点连线的斜率代替瞬时斜率：

微分项离散化示意：曲线在采样点 5T 处的导数，用经过 (4T, e(4T)) 与 (5T, e(5T)) 两个采样点的连线斜率近似，即 (e(5T)−e(4T))/T

$\frac{d\,e(kT)}{dt} \approx \frac{e(kT) - e((k-1)T)}{T}$

归纳起来，离散化处理的方法为：以 $T$ 作为采样周期， $k$ 作为采样序号，离散采样时刻 $kT$ 对应连续时间 $t$ ，可作如下近似变换：

$t \approx kT \quad (k = 0, 1, 2, \cdots)$

$\int_0^t e(t)\,dt \approx T\sum_{j=0}^{k} e(jT)$

$\frac{de(t)}{dt} \approx \frac{e(kT) - e((k-1)T)}{T}$

（为表示方便，下文将 $e(kT)$ 简写成 $e_k$ 。）

2.1 位置式 PID 算法

将上面的近似变换代入模拟 PID 公式，得到离散的 PID 表达式（表达式-1）：

$u_k = K_p e_k + \frac{K_p T}{T_i}\sum_{j=0}^{k} e_j + \frac{K_p T_d}{T}\left[e_k - e_{k-1}\right]$

或者写成系数归并后的形式（表达式-2）：

$u_k = K_p e_k + K_i\sum_{j=0}^{k} e_j + K_d\left[e_k - e_{k-1}\right]$

其中：

$k$ —— 采样序号， $k = 0, 1, 2, \cdots$
$u_k$ —— 第 $k$ 次采样时刻的计算机输出值
$e_k$ —— 第 $k$ 次采样时刻输入的偏差值
$e_{k-1}$ —— 第 $k-1$ 次采样时刻输入的偏差值
$K_i$ —— 积分系数， $K_i = \dfrac{K_p T}{T_i}$
$K_d$ —— 微分系数， $K_d = \dfrac{K_p T_d}{T}$

如果采样周期足够小，表达式-1/2 的近似计算可以获得足够精确的结果，离散控制过程与连续过程十分接近。

算法特点：表达式-1/2 是直接按模拟 PID 控制规律的定义进行计算的，给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式 PID 控制算法。缺点是：全量输出使每次输出均与过去状态有关，计算时要对 $e_k$ 进行累加，工作量大；且计算机输出的 $u_k$ 对应的是执行机构的实际位置，一旦计算机出现故障， $u_k$ 的大幅度变化会引起执行机构的大幅度变化，有可能造成严重的生产事故，这在实际生产中是不允许的。

2.2 增量式 PID 算法

所谓增量式 PID，指数字控制器的输出只是控制量的增量 $\Delta u_k$ 。当执行机构需要的控制量是增量、而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法。

增量式可由表达式-2 推导：先写出第 $k-1$ 个采样时刻的输出值（表达式-3）：

$u_{k-1} = K_p e_{k-1} + K_i\sum_{j=0}^{k-1} e_j + K_d\left[e_{k-1} - e_{k-2}\right]$

表达式-1 与表达式-3 相减并整理，就得到增量式 PID 控制算法（表达式-4）：

$\Delta u_k = A e_k + B e_{k-1} + C e_{k-2}$

其中：

$A = K_p + K_i + K_d, \quad B = -(K_p + 2K_d), \quad C = K_d$

由表达式-4 可见：采样周期 $T$ 恒定时，一旦确定 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，只要使用前后三次测量的偏差值，就可以求出控制量。增量式与位置式相比计算量小得多，因此在实际中得到广泛的应用。位置式控制算法也可以由增量式推出递推计算公式：

$u_k = u_{k-1} + \Delta u_k$

上式就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推 PID 控制算法。

三、几点观察

“积分常数”指的是 $T_i$ 、不是 $K_i$ ：原文 1.2.2 一节说”积分常数越大，积分的积累作用越弱”——这说的是积分时间 $T_i$ （ $T_i$ 在分母上，越大积分作用越弱）；而离散化后的积分系数 $K_i = K_p T / T_i$ 与之反向（ $T_i$ 越大 $K_i$ 越小）。读这段时把”积分常数”统一理解为 $T_i$ 才不自相矛盾，本页已代为统一。
增量式系数可以自行验证：把 $\Delta u_k = u_k - u_{k-1}$ 按定义展开， $K_p(e_k - e_{k-1}) + K_i e_k + K_d(e_k - 2e_{k-1} + e_{k-2})$ ，合并同类项正好得到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的取值——原文推导无误。
数字微分对噪声的敏感度与 $1/T$ 成正比：后向差分的分子 $e_k - e_{k-1}$ 是两拍相减，测量噪声近似不相关、相减后方差翻倍； $T$ 越小，除以 $T$ 放大回去的倍数越大。原文 1.2.3 说”噪声大的系统不用微分、先滤波”，在数字域里这条更硬。
位置式的两个工程缺陷对应增量式的两个卖点： $e_k$ 累加工作量大 → 增量式只用三拍误差；故障时 $u_k$ 跳变打坏执行机构 → 增量式输出的是 $\Delta u$ ，故障影响被一阶截断。递推式 $u_k = u_{k-1} + \Delta u_k$ 取两者折中，但要注意 $u_{k-1}$ 的累加器仍需做积分限幅抗饱和。

素材来源：本文为微信公众号「ZephyrOS嵌入式操作系统」2026-09-04 文章《PID算法的基本原理和数学描述》的整理存档。原文 13 张纯公式截图已改写为 KaTeX 排版（公式截图带 CSDN @irrftang 等水印，原作来自 CSDN），4 张示意图保留原图（PNG 转无损 WebP，像素零差异）。