笔记 / 嵌入式Q格式定点数数字信号处理

引言

Cortex-M0/M3 没有 FPU，浮点运算靠软件库模拟，一次乘除动辄上百个时钟周期；就算 M4/M7 带了硬件 FPU，定点运算依然无处不在：CMSIS-DSP 的滤波器族是 Q15/Q31 的，很多电机控制库里电流环的内核也是。原因不复杂：定点运算的耗时是确定的，每条指令数固定，中断里跑控制环时这一点比单纯的”快”更重要。

定点数常被当成低精度的浮点数，实际上它是一套独立的表示法：小数点的位置由使用者自己规定，CPU 并不知道它的存在。理解了这一点，Q 格式的所有规则都能自己推出来。

一、虚拟小数点

一个 16 位整数 0x4000，在 CPU 眼里就是 16384。但如果规定低 15 位是小数，它就代表 0.5，因为第 14 位的权重是 2⁻¹：

位b15b14b13…b1b0
权重−2⁰2⁻¹2⁻²…2⁻¹⁴2⁻¹⁵
0.5010…00

这套记法叫 Qm.n（或直接写 Qn）：n 是小数位数，m 是整数位数（不含符号位）。16 位下最常用的是 Q15（1 个符号位 + 15 个小数位），32 位下常用 Q31、Q24。TI 的写法 A(a,b) 是一回事，a 个整数位、b 个小数位。

关键认知：小数点只存在于程序员的约定里。同一串比特，按 Q15 读它是 0.5，按 Q14 读它就是 1.0，硬件没有变，变的只是解释方式。

二、范围与分辨率：此消彼长

总共 32 位，小数位多一位，整数位就少一位。TI 的 IQmath 库文档（SPRC990）给出了完整的对照表，摘录如下：

数据类型最小值最大值分辨率
_iq30−21.9999999990.000000001
_iq28−87.9999999960.000000004
_iq26−3231.9999999850.000000015
_iq24−128127.9999999400.000000060
_iq22−512511.9999997620.000000238
_iq20−20482047.9999990460.000000954
_iq18−81928191.9999961850.000003815
_iq16−3276832767.9999847410.000015259
_iq15−6553665535.9999694820.000030518
_iq12−524288524287.9997558590.000244141

每降一档 Q 值，范围翻倍、分辨率减半。选 Q 格式要回答两个问题：这个变量的物理量程是多少，能容忍的最小刻度是多少。两个问题都答出来，Q 值就没有选择余地了。

有个经典教训值得单独说：TI 的 IQsin/IQcos/IQatan2 不支持 Q30。原因见上表：Q30 最大只能表示 1.999999999，而角度的范围是 −π~π，得用 Q29（最大 3.999…）才装得下。把数学函数的值域提前想清楚，能省掉很多”为什么结果突然变成负数”的调试时间。

Randy Yates《Fixed-Point Arithmetic: An Introduction》Figure 1：准确度 vs 精密度——绿色点群散布在原点周围（准确但不精密），红色点群紧凑却整体偏离原点（精密但不准确）

这张图区分了两个常被混用的词。分辨率是刻度的粗细（红色点群），准确度是离真值多远（绿色点群）。Q 格式决定分辨率；准确度还取决于标定、量化方案和算法。分辨率高不等于准确，一个 Q30 的变量配上错误的定标，结果照样是错的。

三、加减法：先对齐，再运算

只有定标相同的数才能直接加减。Q15 加 Q12，相当于把厘米读数与米读数直接相加，数值算对了，量纲也是错的。

不同 Q 格式相加，必须先把一方移位到另一方的定标上。Q12 转 Q15 左移 3 位，左移不损失精度；反过来 Q15 转 Q12 右移 3 位，就会丢掉低 3 位：

int16_t a = q15_value;        // Q15
int16_t b = q12_value;        // Q12
int32_t sum = (int32_t)a + ((int32_t)b << 3);   // 统一到 Q15

注意 int32_t 中间变量：同格式相加也可能溢出。Q15 下 0.9 + 0.9 的真值是 1.8，超出 Q15 上限 0.99997；直接用 16 位相加，29491 + 29491 = 58982，回绕成 −6554，一次加法把正数加成了负数，而且不报任何错。

Randy Yates 的教程里给了一个更完整的例子（直流抵消器）：信号 x[n] 是 16 位 A(15,0)（纯整数），直流估计 w[n] 是 32 位 A(15,16)（16 个小数位，估计值需要精细刻度）：

![[qformat-dc-canceller.webp|Randy Yates《Fixed-Point Arithmetic: An Introduction》Figure 2：直流抵消器——输入 x[n] 分两路，一路送 DC 估计器得到 w[n]，再与原信号相减输出 y[n]；两条支路定标不同，相减前必须对齐]]

要算 y[n] = x[n] − w[n]，先把 x[n] 左移 16 位变成 32 位 A(15,16)（低位补零，数值不变），两边定标就一致了。但直接相减仍有溢出风险（正满量程减负满量程），所以两个数再各右移 1 位，降到 A(16,15)，腾出 1 位余量，代价是 w[n] 损失 1 个小数位。这套”对齐定标 → 留出余量 → 付出一点精度”的思路，是处理混合定标的通用解法。

四、乘除法：Q 值相加，位宽翻倍

乘法的规则一句话：结果的 Q 值 = 两个操作数的 Q 值之和。Q15 × Q15 = Q30。数例：Q15 的 0.5 是 16384，16384 × 16384 = 268435456（0x1000_0000），按 Q30 读正好是 0.25。

实际中往往要乘回 Q15，就右移 15 位。但右移是向零截断，正数最多偏差 1 个 LSB，负数同理，信号处理里累积起来就是直流偏置。习惯做法是移位前加上半个 LSB 做四舍五入：3.7 用 Q4 表示是 59，直接 >> 4 得 3，加 8 再移得 4。

int32_t q15_mul_q15(int16_t a, int16_t b)
{
    return (int32_t)((int32_t)a * b + 0x4000) >> 15;   // 加 2^14 再移位：四舍五入
}

中间量用 int32_t 是必须的：16 位 × 16 位，积最大 32 位，用 16 位接就会截断。CMSIS-DSP 的 Q15 乘法因此在 64 位累加器里做（1.15 × 1.15 = 2.30，还得防累加溢出，额外留了保护位）。

除法反过来：Q15 ÷ Q15 若直接整除，商变成 Q0，小数全部丢失。要先左移再除：

int16_t q15_div(int16_t a, int16_t b)
{
    return (int16_t)(((int32_t)a << 15) / b);    // Q15 / Q15 -> Q15
}

左移 15 位同样要求 32 位中间变量。除法在无除法器的核上开销很大（几十到上百周期），定点代码里常见的优化是把”除以常数”改写成”乘以倒数”，倒数在初始化时算好，存成 Q31。

五、饱和：抑制溢出

回绕（wrap-around）是定点运算中最难排查的故障模式：不置标志、不报警，符号随时可能翻转。PID 的积分项尤其典型（见 PID 算法的基本原理和数学描述）：误差长时间同号，积分一路加到满量程，回绕后输出反向，系统失去控制。

饱和操作把越界值钳到边界上，输出顶在边界值上而不是翻转符号，至少单调性还在：

static inline int16_t sat16(int32_t x)
{
    if (x > 32767)  return 32767;
    if (x < -32768) return -32768;
    return (int16_t)x;
}

TI 的 IQmath 把这件事做成了三档 API（SPRUGG9）：

函数行为
_IQmpy(A, B)直接乘，溢出回绕
_IQrmpy(A, B)乘后舍入，溢出仍回绕
_IQrsmpy(A, B)乘后舍入 + 饱和

默认不饱和是为了性能，饱和版本会多几条指令。控制环里输出路径上的乘法建议一律用饱和版本，这点开销换来的是故障模式从输出反向变为输出钳位。

六、实战：从 ADC 读数到电流环

电机控制是把 Q 格式用得最系统的地方。ADC 给的是 12 位无符号数（04095），对应双极性电流 −I_max+I_max。归一化到 Q15 只要两步：减掉中点变成有符号数，再左移 4 位对齐到 15 个小数位：

// ADC 12 位原始值 -> Q15 标幺电流
int16_t current_q15 = (int16_t)(((int32_t)adc_raw - 2048) << 4);
// 0    -> -2048 << 4 = -32768  (对应 -I_max)
// 2048 ->    0   << 4 =     0  (对应 0)
// 4095 ->  2047 << 4 =  32752  (对应 +I_max)

此后的整个电流环（Clarke/Park 变换、PI 调节器、反 Park、SVPWM）都可以在 Q15 或 Q14 域里闭环（角度例外，见下）。这套算法的 C 实现见 FOC 磁场定向控制的 C 语言实现，SVPWM 调制部分见 电机控制的空间矢量调制 SVPWM。标幺化的好处是所有量都在 ±1 附近，Q15 的分辨率正好覆盖这个量程；换成安培做单位，量程一到几十安，Q15 就不够分了。

角度 θ 的处理要单独考虑：sin/cos 的参数是弧度，范围 −ππ，Q15 装不下（原因见第一节第二张表）。常见做法有两个：用 Q13 或更粗的定标存弧度；或者干脆存每转计数（065536 对应 0~2π），配合查表法取 sin，后者在无 FPU 的核上用查表加线性插值，比 CORDIC 迭代还快。

库生态这边，两条路线各有成熟方案：TI C2000 的 IQmath 库以 GLOBAL_Q（默认 Q24）为中心，一套函数名对应一种定标；ARM 的 CMSIS-DSP 用纯 Q15/Q31 的”分数定标”（1.15、1.31），靠 64 位累加器抗溢出。理解了本文的规则，两套库的手册都只是细节差异。

七、踩坑速查

症状原因解法
输出周期性尖刺或符号翻转加法/乘法溢出回绕32 位中间变量 + 饱和
结果比预期小一半乘法后忘了右移检查每步的 Q 值账本
小量永远为零右移截断吞掉了小数移位前加半 LSB 舍入
两数相加莫名错位定标不同直接相加先移位对齐再运算
sin 输入正常输出错角度定标超出表示范围弧度用 Q13 或改每转计数
PID 积分”越调越偏”积分项溢出回绕积分限幅 + 抗饱和
换编译器结果变了依赖了 char 符号 / 移位实现细节显式用定宽类型，算术右移自己写

总结

Q 格式的全部规则可以压缩成三句话：小数点是约定，运算按整数做，每一步记好 Q 值账。加减对齐定标，乘法 Q 值相加，移位前想想舍入，可能溢出的地方加饱和。这套纪律换来的是无 FPU 平台上确定性的实时性能，也是很多电机控制库至今坚持定点实现的原因。

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